物理專文2016年諾貝爾物理學獎：相變與拓樸相變介紹
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2016年諾貝爾物理學獎頒授給三位凝聚態物理學家，科斯特利兹 (John Michael Kosterlitz)、霍爾丹(Duncan Haldane) 和索利斯(David J. Thouless)，為表揚他們發現拓撲相和拓撲相變。他們的發現可說是凝聚態物理的一場革命。要體會這發現的重要，我們必先了解傳統的相變理論。
相與相變
『相』是物質的形態。常見的相是固體、液體和氣體。不同的相有着截然不同的性質。例如氣體的容量可隨意改變，而液體則有大概固定的容量。液體和氣體中粒子可自由活動，故此液體和氣體没有固定形狀。而固體中的粒子則排列得整整齊齊，形成一個晶格，所以固體有固定的形狀。透過改變温度和壓力，物質可從一種相過渡到另一種相。例如水被降温會變成冰，被加熱或減壓會變成蒸氣。除了把相大概分類為固體，液體和氣體，我們還能把它們細分。例如一般氣體在常壓下被加熱至攝氏幾萬度時，原子外層電子會剝落，形成由自由電子和離子組成的等離子體。等離子體也是氣體，但等離子體是導體，而一般氣體是絕緣體。又例如鑽石和石墨，雖然它們都是固體的炭，但它們的晶格結構截然不同。石墨是由多層二維六角形晶格組成，而鑽石則是一個三維四面體晶格。在高壓下，石墨會變成鑽石。所以鑽石和石墨是固態炭的不同的相。另個一例子是磁鐵。低於臨界温度下，磁鐵中的電子自旋會指向同一方向 (圖一)，造成宏觀磁偶，所以產生宏觀磁場。高於臨界温度，電子自旋因熱隨機擺動而指向不同方向 (圖二)，導致磁鐵喪失磁性，所以磁鐵在臨界温度會進行相變。同樣道理，超導體和超流體都是物質在極低温下的一種特殊的相。超導體的電阻是零，而超流體的黏度是零。高於臨界溫度下，它們的特殊性質都會喪失。
圖一
圖二
統計物理
雖然相變是常見的物理現象，要從微觀角度解釋相變並不容易。宏觀物體由數量級達1023個粒子組成；須知道一個系統如果包含多於一個原子，而原子間有相互作用，那麼在量子力學裏該系統是没有解析解的，只能以微擾理論或數值方法近似，何況是1023個原子！要處理這類宏觀熱現象問題，我們會用統計學方法，即所謂的『統計物理』。統計物理的基本問題是：在給定條件下物質的宏觀平衡態是什麼。例如：給定壓力為一大氣壓，温度為110oC，統計物理理應導出水的平衡態為氣態。所謂平衡態，指的是一種宏觀性質隨時間不變的態。例如把一杯熱水倒進一杯冷水，起初水中不同部份的温度各有不同，但最後的態是一杯温度均勻的暖水，這就是平衡態。統計物理的宗旨是從微觀角度解釋平衡態。這裏我們要了解兩個截然不同但互相關聯的概念：微觀態和宏觀態。微觀態是用以描述微觀世界的態。在經典力學裏，微觀態是粒子的位置和動量。給定一系統在某一時刻的微觀態，該系統在任一時刻的微觀態可從求解牛頓運動方程獲得。在量子力學中，微觀態是系統的波函數，而波函數隨時間的變化由薛丁格方程決定。宏觀態由宏觀性質來描述。例如一氣體，它的能量分佈和密度分佈就是它的宏觀態。統計物理的基本假設是：給定一隔離系統，在平衡態下，所有可能的微觀態出現機率相等。這基本假設的物理圖像可以這樣理解：設想一個完全與外界隔離的密封箱子，內裏是大量粒子。這羣粒子便是一隔離系統。由於與外界隔離，這系統的總能量，容量和粒子數都是固定的，但這系統的能量分佈和密度分佈並不固定。那麼平衡態下的宏觀態(能量分佈和密度分佈)是什麼？可以想像，當粒子數量眾多時，粒子的運動近似隨機運動，相當無序，導致每一可能微觀態出現機會相同。但不同的微觀態可對應相同的宏觀態。所以每一宏觀態都對應一個微觀態的數量Ω。那麼哪一宏觀態最有可能出現便取決於哪一宏觀態的Ω最大。熱力學中的熵便是S=k logΩ，其中k為Boltzmann常數 (所以熵愈大，系統愈無序)。因此，統計物理解釋了為何隔離系統在平衡態下，熵取最大值，即『熱力學第二定律』。
統計物理把一切熱平衡問题歸結為怎樣計算Ω。這是統計物理的核心課題，為此物理學家發展了很多理論工具，例如我們以後將會用到的自由能F = U-TS(其中U為系統總能量，T為絕對温度，S為熵)，它在給定温度下取最小值。利用自由能解釋熱現象很直觀方便。例如低温下，T很小，所以我們可忽略TS，那麼平衡態便對應最低能的態。粒子靜止的固態能量當然比粒子常動的氣態低，所以低温下固態為平衡態。類似地，高温下，TS很大，我們可忽略 U，那麼平衡態便對應熵最高的態。氣態比固態無序，熵當然比固態高，所以高温下平衡態為氣態。同類論證也能套用在磁鐵的例子裏。磁鐵中的電子自旋在指向相同方向時系統總能量最低。低温下低能態為平衡態，所以低温下磁鐵中電子自旋指向同一方向。高温下高熵的無序態為平衡態，所以高温下磁鐵中的電子自旋指向不同方向。自由能和熵蕴藏着相同的訊息。物理學家喜歡用自由能這概念，因為一般來說它比熵容易計算。當然，統計物理的基本假設也只是一假設，其可靠性由實驗判斷。至今，統計物理的理論預測與實驗相乎。順帶一提，統計物理由德國物理學家Boltzmann一手建立，它與Maxwell的經典電動力學被視為十九世紀兩項最偉大物理學特破。
傳統的相變理論：對稱破缺
相變是統計物理的重要課題。傳統的相變理論奠基於物質的對稱性。不同的相即不同的對稱性。例如均匀氣體具有連續平移對稱性：由於粒子的運動十分無序，氣體在任意平移下外貌不變 (圖三)。固體的對稱性與氣體不同。固體中的粒子排列成一晶格，只有單元長度a整數倍的平移才能使晶格外貌不變 (圖四)。所以固體的對稱性比氣體少：氣體具有連續對稱性，而固體具有離散對稱性。因此氣體凝結成固體是一個對稱破缺的過程。
圖三
圖四
另一例子是磁鐵，高於臨界温度，磁鐵中的電子自旋隨機指向不同方向，所以此系統的態具有三維空間旋轉對稱性。低於臨界温度，電子自旋指向同一方向，所以態的對稱性是單軸旋轉對稱。我們可利用自由能具體說明對稱破缺。為簡單起見，設想一塊二維世界的磁鐵 (又稱為二維XY模型)，它的電子自旋向量只能限於xy平面上。高於臨界温度，系統的自由能F作為宏觀磁偶M的函數，如圖五所示。從圖可見，自由能在M=0處取最小值，所以M=0是宏觀平衡態。宏觀態M=0在xy平面(沿z軸)的旋轉下保持不變，所以它具有二維旋轉對稱。低於臨界温度，系統的自由能如圖六所示。從圖可見，磁偶向量的長度M為M0時，自由能取最小值，所以平衡對應於M =M0 。
圖五
圖六
雖然磁偶向量的長度確定了，但磁偶的方向是任意的，而且只能是其中一個，因為在平衡態下一切宏觀量恆定不變。那麼磁偶在平衡態下指向哪個方向？統計物理不能解答這個問題。因為平衡態下磁偶的方向對初始微觀態非常敏感，統計方法並不適用。平衡態下，磁偶可以在圖六虚線上的任何一點，如果在A點，電子自旋便如圖七；如果在B點，電子自旋便如圖八。這些態都没有旋轉對稱。例如把態A逆時針旋轉90度，會得到另一個態，態B。注意雖然系統的態没有旋轉對稱性，自由能函數仍具有旋轉對稱性 (見圖六)。這種物理定律具有對稱性但系统的態不具對稱性的情形稱為『自發對稱破缺』。對稱性破缺的物理量稱為『序參量』。
圖七
圖八
在磁鐵的例子裏，宏觀磁偶便是序参量。連續對稱的自發破缺有一個重要結果 (Goldstone定理)：序參量沿破缺對稱方向的振模能量在波長趨於無限大時趨於零。這種振模稱為Goldstone模。磁鐵的Goldstone模就是圖六中磁偶沿虚線方向 (空間上均匀) 的旋轉，例如從態A旋轉到態B。固體晶格的Goldstone模就是平移, 即長波長聲子。由於激發Goldstone模不需能量，一個自然的問題是: 熱漲落會否激發Goldstone模？由於Goldstone模波長很長，要隨機地激發它，序參量沿破缺對稱方向必須要有長程相干性。論理證明，所有一維和二維系統都具有此種長程相干性。所以對於一維和二維系統，非零序參數會因熱漲落搖罷不定，即系統没有長程序。因此一維和二維系統不可能有基於連續對稱自發破缺的相變。這結果稱為Mermin-Wagner定理。注意，正因為Mermin-Wagner定理，二維XY模型在低温下的平衡態非常有趣：在給定任一刻，電子自旋都指向同一方向，但此方向隨時間不斷轉變，導致宏觀磁偶的時間平均為零。三維磁鐵則不同，在低温下，它的Goldstone模不會被熱漲落激發，所以磁偶會指向恆定方向。
奠基於對稱性的傳統相變理論在二十世紀40至70年代的發展和應用造就了六年的諾貝爾物理學獎：(1962) L. D. Landau的液態氦4超流理論；(1972) J. Bardeen、L. N. Cooper和J. R. Schriefer的超導體微觀理論；(1973) B. D. Josephson對超導體中穿隧效應的預言；(1982) K. G. Wilson對臨界點物理的精確解釋；(2003) A. A. Abrikosov、V. L. Ginzburg和A. J. Leggett對第二類超導體和超流液態氦3的解釋；(2013) F. Englert和P. W. Higgs對標準模型中粒子質量的解釋。可以說，傳統相變理論是二十世紀物理學的一個里程碑。
拓撲相和拓撲相變
以上提及過二維XY模型在傳統理論中不可能有相變 (即基於連續對稱自發破缺的相變)。Kosterlitz和Thouless在1972年發現二維XY系統的一種新類形相變。他們考慮電子自旋方向呈旋渦狀的態 (圖九)。旋渦態的特點是它不能連續地變化成没有旋渦的態。要明白這點很簡單，考慮一圍繞旋渦中心的圓上的電子自旋方向分佈 (圖十)。沿着圓逆時針走一圈，電子自旋也剛好逆時針轉了360度。 在沒旋渦的態中，同樣的圓上的自旋分佈如圖十一。從圖可見，沿着圓逆時針走一圈，電子自旋沒有任何轉動。注意，沿着圓逆時針走一圈時自旋只能轉360度的整數倍，因為自旋分佈是連續的，此整數n稱為卷繞數 (winding number)。例如圖十對應n=1, 而圖十一對應n=0。n=-1的旋渦稱為反旋渦 (圖十二)。如果圖十能連續地變化成圖十一， 卷繞數n便必須經過0至1的所有實數 (例如0.5)，但這是不可能的，因為n只能是整數。所以圖十不可能連續地變化成圖十一。
圖九
圖十
圖十一
圖十二
類似地，不同卷繞數的兩個旋渦不可能連續變化成對方。也就是說，卷繞數是一個拓撲不變量：它在任何連續變化下都是不變的。卷繞數具有可加性：把一個卷繞數n的旋渦和一個卷繞數m的旋渦放在一起，會得到一個卷繞數n+m的大旋渦。例如把一個n=1的旋渦和一個n=-1的反旋渦放在一起，便得到一個n=0的態(圖十三)。旋渦跟電荷很相似：同性相斥、異性相吸。經過計算，一個n=1的旋渦的能量U正比於log A，其中A為系統的總面積。也就是說，如果系統無限大，要從無旋渦的態激發一個旋渦需要無限大能量，所以在低温下激發單獨一個旋渦是不可能的。可是，因為正反旋渦互相吸引，一對正反旋渦的能量是有限的(正比於log d，其中d為正反旋渦之間的距離)。所以低温下熱漲落會激發正反旋渦對。這些正反旋渦對就像氫原子中的質子和電子，緊緊的吸在一起。正如之前討論過，高温時我們要考慮熵的貢獻。有一個n=1旋渦的微觀態數量Ω當然正比於旋渦的可能位置數量，也即正比於系統總面積A。那麼對應的熵S= k log Ω(的主導項) 便正比於log A。所以一個n=-1旋渦的自由能F = U-TS 在某温度以上少於零！也就是說，在某臨界温度之上，因為自由能要取最小值，大量旋渦會自發產生。當然，旋渦的物理是正反對稱的(正如電磁學中正反電荷是對稱的)，所以自發產生的正反旋渦數量相等，但它們各自是自由的。情形就像氫原子被電離化，質子和電子成為自由粒子。這種正反旋渦“原子”在臨界温度的“離子化”稱為KT相變。KT相變與傳統的相變不同，它並不涉及任何對稱破缺：無論是高於還是低於臨界温度，系統的態都沒有任何對稱性。在KT相變中，相的變化在於拓撲性質的變化：旋渦的自發產生。因此，KT相變被稱為是一種拓撲相變，而且是第一個被發現的拓撲相變例子。KT相變已在不同的二維系統被實驗證實。這些系統包括液態氦4超流體薄膜、超導體薄膜和二維固體的溶解。
圖十三
Haldane在1983年發現了在一維系統中一種具獨特拓撲性質的相。他考慮一維反磁鐵量子模型，又稱為一維Heisenberg鏈。反磁鐵與一般磁鐵不同，它在相鄰電子自旋方向相反時能量最低(圖十四)。在凝聚態物理裏，系統的基態與最低激發態之間有没有能隙是一重要問題，因為它關係到系統的超導性或超流性。Haldane考慮的問題是: 不同自旋(電子自旋是1/2) 的Heisenberg鏈有没有能隙。他發現系統的能隙取決於一種在tx (t為時間座標，x為一維空間座標) 平面上的旋渦態(圖十五)：能隙是否為零取決於expi(2πns)分析，，其中s為自旋。在量子力學裏，自旋s只能為1/2、3/2、5/2、...(費米子)，或為0、1、2、...(玻色子)。所以費米子的Heisenberg鏈没有能隙，而玻色子的Heisenberg鏈存在能隙。由於Haldane的分析用了近似方法，論證並未完善，這結論被稱為Haldane猜想。Haldane猜想的創見在於它提出了態的拓撲性質會直接影響系統的某些特殊物理性質，如超導性和超流性。Haldane猜想的一些特例已在理論上被嚴格證明。自旋為1的例子更在1986年被實驗證實。
圖十四
圖十五
拓撲相和拓撲相變顛覆了物理學家對相和相變的了解：不同的相不但可以是不同的對稱性，也可以是不同的拓撲性質。自從Kosterlitz、Thouless和Haldane提出KT相變和Haldane猜想之後，更多的拓撲相和拓撲相變在理論和實驗被證實。例如Thouless等人在1982年提出用拓撲相解釋整數量子霍爾效應，並預言了磁場為零之下的整數量子霍爾效應。此預言在2013年被實驗證實。拓撲相的概念也被運用到解釋一部份份數量子霍爾效應。近年的熱門研究系統–拓撲绝緣體，就是一種拓撲相。由於連續變化並不影響拓撲不變量，拓撲相在外界擾動下十分穩定，這有助量子電腦維持量子態的所需相干性。
作者：黎偉健博士（TUM Physik-Department, Munich, Germany 博士後研究員, wk.lai@tum.de)
